Στον κάδο του μίξερ βάζουμε αλεύρι, κάνουμε μια λακκούβα, προσθέτουμε τη μαγιά, τη ζάχαρη και το χλιαρό γάλα, . Ανακατεύουμε και αφήνουμε 10' να ενεργοποιηθεί η μαγιά.

Προσθέτουμε το ξύσμα πορτοκαλιού, το αλάτι, τα αυγά, ελαφρώς χτυπημένα, και ξεκινάμε το ζύμωμα με τον γάντζο.

Ζυμώνουμε καλά μέχρι να σχηματιστεί η ζύμη.

Στη συνέχεια προσθέτουμε σταδιακά το μαλακό βούτυρο, λίγο λίγο, περιμένοντας κάθε φορά να απορροφηθεί πριν ρίξουμε την επόμενη ποσότητα.

Συνεχίζουμε το ζύμωμα μέχρι να έχουμε μια πολύ μαλακή, γυαλιστερή και ελαστική ζύμη.

Η ζύμη του μπαμπά δεν είναι σφιχτή, είναι πιο πλούσια και κολλώδης.

Σκεπάζουμε τον κάδο και αφήνουμε τη ζύμη να φουσκώσει σε ζεστό μέρος μέχρι σχεδόν να διπλασιαστεί.

Βουτυρώνουμε πολύ καλά μία αντικολλητική φόρμα 24 εκ. με λιωμένο βούτυρο.

Γεμίζουμε τη φόρμα με τη ζύμη, σκεπάζουμε ξανά και αφήνουμε δεύτερη φορά να φουσκώσει για 30'

Προθερμαίνουμε τον φούρνο στους 170°C.

Ψήνουμε στους 170°C, στις αντιστάσεις, μέχρι να πάρει ωραίο βαθύ χρυσαφένιο χρώμα, περίπου 30'.

Βράζουμε να δέσει το σιρόπι, περίπου 5'.

Αποσύρουμε από τη φωτιά και προσθέτουμε το ρούμι.

Θέλουμε το σιρόπι να είναι ζεστό προς χλιαρό και ο μπαμπάς επίσης χλιαρός, ώστε να το απορροφήσει σωστά.

Βάζουμε το σιρόπι σε βαθύ σκεύος, βουτάμε τον μπαμπά αφήνοντάς τον να τραβήξει το μισό σιρόπι,

Τον αναποδογυρίζουμε και συνεχίζουμε το σιρόπιασμα μέχρι να απορροφηθεί σχεδόν όλο το σιρόπι, στο ψυγείο και τον κρατάμε εκεί μέχρι το σερβίρισμα.

Μεταφέρουμε τον μπαμπά σε πιατέλα, αλείφουμε όλη την επιφάνεια με μαρμελάδα βερίκοκο, χρησιμοποιώντας ένα πινέλο.

Γαρνίρουμε με σαντιγί και φρούτα εποχής.

Σερβίρουμε σε φέτες, προσθέτοντας αν θέλουμε επιπλέον σαντιγί και φρούτα